二、不定方程—求整体
【例4】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?( )
A.10元
B.11元
C.17元
D.21
【答案】A
【解析】(一)本题目是不定方程问题。设签字笔、圆珠笔和铅笔的价格分别是x、y、z，根据题意：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，两个方程三个未知数解不出来具体的数值，但是问题需要的是x+y+z的值，可以考虑配系数，第一个方程乘以3、第二个方程乘以2之后二者相减，刚好得到x+y+z=10。
(二)本题目问题需要的是x+y+z的值，x、y、z具体数值不影响最终结果，可以使用赋值法令其中一个未知数y=0，此时解得：x=11，z=-1，x+y+z=10。选择A。
【例5】去超市购买商品，如果买9件甲商品，5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元;如果买13件甲商品，7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若甲乙丙商品各买两件，共需多少钱?( )
A.88
B.66
C.58
D.44
【答案】D
【解析】(一)本题目是不定方程问题。设甲、乙、丙的价格分别是x、y、z，根据题意：9x+5y+z=72，13x+7y+z=86，两个方程三个未知数解不出来具体的数值，但是问题需要的是2(x+y+z)的值，可以考虑配系数，第一个方程乘以3、第二个方程乘以2之后二者相减，刚好得到x+y+z=44，所以2(x+y+z)=88。
(二)本题目问题需要的是2(x+y+z)的值，x、y、z具体数值不影响最终结果，可以使用赋值法令其中一个未知数x=0，此时解得：y=7，z=37，2(x+y+z)=88。选择A。
从以上例题我们可以看出，这类不定方程一般需要我们求出整体的数值而不是具体未知数的数值，可以考虑配系数之后整体消去，得到题目中要求的答案;另外这类问题由于不要求未知数的具体数值，也可以考虑赋值法，令其中一个系数最为复杂的未知数的值为0，继而求出其他的未知数得到最终答案。
综上所述，考场上如果遇到不定方程问题，需要求未知数的具体数值时，考虑代入排除思想并结合数字性思想，包括奇偶特性、尾数特性以及整除特性;如果要求的是整体的数值，那么考虑配系数或者赋值法解题。希望各位考生仔细揣摩，在考试中取的好成绩。
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