以下2015上海长宁区高三质检数学理试题及答案由留学群高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。
2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.
2．若集合 ，则M∩N _______________.
3．复数 =______________.（ 是虚数单位）
4．已知数列 的前 项和 ，则其通项公式为
5. 已知 ，则
6. 已知 且 ，则复数 对应点在第二象限的概率为 （用最简分数表示）
7．已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为
8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是 .
9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是 .
10．已知数列 是以 为公差的等差数列， 是其前
项和，若 是数列 中的唯一最大项，则数列
的首项 的取值范围是 .
11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白
信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .
12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ， 则 的值是 。
13. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为 ．
14.已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为
周期的偶函数，且当 时， ，若在区间 内，函数
有4个零点，则实数 的取值范围是 ．
二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．
15．设z1、z2∈C,则“z +z =0”是“z1=z2=0”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
16．函数 的图象为 （ ）
A B C D
17. 是△ABC所在平面内的一点，且满足 ，则△ABC的形状一定是 （ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形
18.下面有五个命题：
①函数 的最小正周期是 ；
②终边在y轴上的角的集合是 ；
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有一个公共点；
④把函数 ；
⑤在 中，若 ，则 是等腰三角形 ；
其中真命题的序号是 （ ）
．（1）（2）（3） ．（2）（3）（4） ．（3）（4）（5） ．（1）（4）（5）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：三棱锥 中， 底面 ，若底面 是边长为2的正三角形，且 与底面 所成的角为 ．若 是 的中点，求：
（1）三棱锥 的体积；
（2）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值。
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
已知函数 的图像与 轴正半轴的交点为 ， =1，2，3，…．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 令 为正整数）, 问是否存在非零整数 , 使得对任意正整数 ，都有 ？ 若存在, 求出 的值 , 若不存在 , 请说明理由．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数 （ 、 ），满足 ，且 在 时恒成立．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，解不等式 ；
（3）是否存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列 满足
(1)设 是公差为 的等差数列.当 时,求 的值;
(2)设 求正整数 使得一切 均有
(3)设 当 时,求数列 的通项公式.
参考答案（理）
一、填空题
1、 2、 3、 4、
5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
12、 13、2 14、
二、选择题
题号 15 16 17 18
答案
三、解答题
19、[解]（1）因为 底面 ， 与底面 所成的角为
所以 ………2分 因为 ，所以 …………4分
………………6分
（2）连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则
所以 为异面直线 与 所成的角 ………………7分
计算可得： ， ， ………………9分
………………11分
异面直线 与 所成的角为 ………………12分
20、【解】（1）由条件得到 ，………………2分
解得 或者 ………………4分
， ………………6分
（2） ………………2分+2分+2分=6分
21、（理）【解】：（1）设 ， 得 。
所以 …………………………………………………………………………4分
（2） ，若存在 ，满足 恒成立
即： ，………………………………6分
恒成立 ……………………………………………………8分
当 为奇数时， ………………………………………10分
当 为偶数时， …………………………………12分
所以 ………………13分，
故： ………………………14分
22、【解】（1）由 ，得 ，………………1分
因为 在 时恒成立，所以 且△ ， ，
………………2分
即 ， ， ，所以 ．……………4分
（2）由（1）得 ，由 ，得
，即 ，………………7分
所以，当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为空集 ． ………………10分
（3） ， ………………11分
的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ．
假设存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ．
① 当 ，即 时，函数 在区间 上是增函数，所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ； ………………13分
②当 ，即 时，函数 的最小值为 ，即
，解得 或 ，均舍去； ………………15分
③当 ，即 时， 在区间 上是减函数，所以 ，即 ，解得 或 ，因 ，所以 ． ………………17分
综上，存在实数 ， 或 时，函数 在区间 上有最小值 ． ………………18分
23、【解】(1) , ………………2分
………………4分
(2)由 , ………………5分
由 ,即 ; ………………7分
由 ,即 ………………9分
. ………………10分
(3)由 , ………………11分
故 ,
………………13分
当 时,以上各式相加得
………………15分
当 时,
………………17分
, ………………18分
点击下载：上海长宁区2015年1月高三数学（理）试卷
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