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浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试
数学（理科）试题 2015.01
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上．
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
球的体积公式 其中 表示棱柱的底面积， 表示棱柱的高
棱台的体积公式
其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，
h表示棱台的高
其中 表示棱锥的底面积， 表示棱锥的高 如果事件 互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知 ，若集合 中恰有 个元素，则（ ▲ ）。
A． B．
C． D．
2．设 是奇函数，则使 的 的取值范围是（ ▲ ）。
A． B．
C． D．
3．一个几何体的三视图及其尺寸(单位： )如图所示，则
该几何体的侧面积为（ ▲ ） 。
A． B．
C． D．
4．在空间给出下面四个命题(其中 、 为不同的两条直线, 、 为不同的两个平面)
① , // ② // , // //
③ // , , // ④ , // , // , // , // //
其中正确的命题个数有（ ▲ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知 ，若 的必要条件是 ，则
之间的关系是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
6．设 满足约束条件 ，则 取值范围是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
7．已知 为 的外心， ， ，若 ，且
，则 （ ▲ ）。
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
9．若 ，则 的最小值是（ ▲ ）。
A． B． C． D．
10．已知等差数列 的公差 不为 ，等比数列 的公比 是小于 的正有理数。若
， ，且 是正整数，则 等于（ ▲ ）。
A． B． C． D．
非选择题部分（共100分）
注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．阅读右侧程序框图,输出的结果 的值为 ▲ 。
12．已知
是直角三角形的概率是 ▲ 。
13．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面
积为 ▲ 。
14．已知 ，则
= ▲ 。
15．已知 中， ， ，
且 ，则 的取值范围是 ▲ 。
16．已知椭圆的中心在坐标原点 , , 分别是椭圆的上下顶点， 是椭圆的左顶点， 是
椭圆的左焦点，直线 与 相交于点 。若椭圆的离心率为 ，则 的正切
值 ▲ 。
17．在等腰三角形 中， ， 在线段 ， （ 为常数，且 ）， 为定长，则 的面积最大值为 ▲ 。
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
如图，已知单位圆上有四点
，
分别设 的面积为 .
（1）用 表示 ；
（2）求 的最大值及取最大值时 的值。
19．（本小题满分14分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 。
（1）求角 的值；
（2）若角 ， 边上的中线 ，求 的面积。
20．（本小题满分15分）
如图，在几何体 中， 平面 ，
平面 ， ，又 ，
。
（1）求 与平面 所成角的正弦值；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值。
21．（本小题满分15分）
已知椭圆 的离心率为 ，且经过
点 。 过它的两个焦点 ， 分别作直线 与 ，
交椭圆于 两点， 交椭圆于 两点，且 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形 的面积 的取值范围。
22．（本小题满分14分）
设数列 的前 项和为 ，已知 ，且
，其中 为常数。
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）证明：不等式 对任何正整数 都成立。
浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测试
数学（理科）答案 2015.01
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C A D B D C A
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11． 12． 13． 14．
15． 16． 17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识，同
时考查运算求解能力。满分14分。
解：（1）根据三角函数的定义，知
所以 ，所 .
又因为 四边形OABC的面积＝ ，
所以 . （7分）
（2）由（1）知 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，此时 的值为 . （7分）
19．（本小题满分14分）
本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分．
解：（1）因为 ，由正弦定理
得 ， （2分）
即 = 3sin(A+C) ． （2分）
因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，
所以 ．
因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以 ，因为 ，所以 ． （3分）
（2）由（1）知 ，所以 ， ． （1分）
设 ，则 ，又
在△AMC中，由余弦定理
得
即 解得x＝2. （4分）
故 （2分）
20．（本小题满分15分）
本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间
想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 满分15分.
解：过点 作 的垂线交 于 ,以 为原点,
分别以 为 轴建立空间上角坐标系。
,又 ,则点 到 轴的距离为1,到 轴的距离 为 。
则有 , , , , 。 （4分）
（1）设平面 的法向量为 ，
．
则有 ，取 ，得 ，又 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 。 （5分）
（2）设平面 的法向量为 ，
，
则有 ，取 ，得 。
，
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值是 。 （5分）
21．（本小题满分15分）
本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考
查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
解：（1）由 ，所以 ， （2分）
将点P的坐标代入椭圆方程得 ， （2分）
故所求椭圆方程为 （1分）
（2）当 与 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形
的面积为 ， （2分）
若 与 的斜率都存在，设 的斜率为 ，则 的斜率为 ．
直线 的方程为 ，
设 ， ，联立 ，
消去 整理得， （1）
， ， （1分）
，
（2） （1分）
注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，可以用 代替（2）中的 ，
得 ， （2分）
，令 ，
，
，
综上可知，四边形 面积的 . （3分）
22．（本小题满分14分）
本题主要考查等差数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能
力。满分14分。
解：由已知，得 ， ，
由 ，知
，即
解得 . （4分）
（1） ①
所以 ②
②-①得 ③
所以 ④
④-③得
因为
所以
因为
所以
所以 ，
又
所以数列 为等差数列 （5分）
（2） 由（1）可知， ，
要证
只要证 ，
因为 ，
，
故只要证 ，
即只要证 ，因为
所以命题得证 （5分）
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