动点最值问题解法探析
湖北省随州市草店中学 王厚军 李华荣
一、问题原型：
（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道
上修建一个泵站，分别向
、
两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
上修建一个泵站，分别向
、
两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题
二、基本解法：
对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：
(
在线段
上时取等号)（如图1-2）
线段和最小，常见有三种类型：
（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小
通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点
所在直线的对称点
，线段
（是另一定点）与
关于动点
所在直线的对称点
，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和
。
例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形
的边长为
，
是
的边长为
，
是
的中点，是对角线
上一动点，则
的最小值是 。
解析：
与
关于直线对称，连结
，则
。
连结
,在
中，
,在
中，
，
，则
故的最小值为
例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线
的对称轴为
，与
轴交于、两点，与轴
交于点
的对称轴为
，与
轴交于、两点，与轴
交于点，其中
，
。
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在对称轴上存在一点
，使得
的周长最小，请求出点
，使得
的周长最小，请求出点的坐标。
解析：（1）对称轴为，
，由对称性可知：
。根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
，，由对称性可知：
。根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：
（2）与关于对称轴对称，连结
，与对称轴交点即为所求点。
与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：
。把、
代入得，
。当时，
解析式为：
。把、代入得，
。当时，
，则
2.两个定点+两个动点。
两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
例3 如图4，河岸两侧有、
、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？
解析：设桥端两动点为
、
，那么
、
，那么点随点而动，
等于河宽，且垂直于河岸。
将向上平移河宽长到，线段
与河北岸线的交点即为桥端
向上平移河宽长到，线段
与河北岸线的交点即为桥端
点位置。四边形
为平行四边形，，此时
值最小。那么来往、两村最短路程为：
。
例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形
的顶点
在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，
的顶点
在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，
，
，为边
的中点。
（1）若为边
上的一个动点，当
的周长最小时，求点
为边
上的一个动点，当
的周长最小时，求点的坐标；
（2）若，
为边上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，求点
，
为边上的两个动点，且
，当四边形
的周长最小时，求点，的坐标。
解析：作点
关于轴的对称点
，则
，
关于轴的对称点
，则
，
。
（1）连接
交轴于点，连接，此时的周长最小。由
可知
交轴于点，连接，此时的周长最小。由
可知 
，那么
，则
。
（2）将向左平移2个单位（）到
点，定点、
向左平移2个单位（）到
点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即
。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。
在
上截取
，连接
交轴于，四边形
为平行四边形，
。此时
上截取
，连接
交轴于，四边形
为平行四边形，
。此时
值最小，则四边形的周长最小。由、
可求直线解析式为
，当
时，
，即
，则
。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）
（二）“|动定|+|动动|”型：
两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角
中，
，
中，
，
，
的平分线交于点，、分别是
和
上的动点，则
的最小值为 4 。
解析：角平分线所在直线是角的对称轴，
上动点
上动点关于的对称点
在上，
，
，当
时，
最小。
作
于
，交
于
，
于，交于，∵，
，
∴
作
交于，
交于，
例6 如图7，四边形
是等腰梯形，、在轴上，在轴上，
，
，
，
，抛物线
过、两点。
（1）求
、
；
、
；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到
是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为
，求的最大值；
（3）当（2）中点运动到使
取最大值时，此时记点为
点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段
上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。
解析：（1）由
，
，
，，，可得：
、
、
、
；根据、的坐标可求出抛物线解析式为
（2）设
，且
，则
，用零点分段法可求得，
。当
，且
，则
，用零点分段法可求得，
。当
时，
。
此时
，则
。
，则
。（3）轴与直线
关于
轴与直线
关于对称，作
轴于
，动点关于的对称点
在直线上，
，当
垂直于直线时，的值最小。
，根据和可求直线的解析式
，则有
。由
可知，
。作
，过点作轴的平行线，交
于，那么
。作
于，则
，
，当是于
的交点时，与重合，
有最小值5。函数，此时，则
，即
。
3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。
例7 （2009年漳州中考）如图8， 
，是
内一点，
，
、
分别是和
，是
内一点，
，
、
分别是和上的动点，求
周长的最小值。
解析：分别作关于
关于、的对称点、，连接
，则
，当、在线段上时， 周长最小，
∵ 
，
，
∴ 
。 则
。 则周长的最小值为
例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路
与沪渝高速公路
垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，
与沪渝高速公路
垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，
，到直线的距离为
，到直线和的距离分别为
和
。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。
解析：作点
关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接
，
。当、在线段上时，
最小。
过、
、分别作轴、轴的平行线交于。在
中，
，
，交轴于，交轴于。
，而
∴ 四边形
的周长最小值为：
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